MÓDULO 18 SEMANA 4 PROYECTO INTEGRADOR ACTUALIZADO 2026

 

Proyecto integrador. El movimiento de una partícula.

 

Asesor virtual:

 Ventas 250  cada proyecto integrador y 150 pesos cada actividad integradora.

922-220-00-44

 

Alumna:

 

Grupo:

 

 

 

 

 

 

SÁBADO  11  DE ABRIL  DEL 2026.

 

1. Lee y analiza el siguiente planteamiento:

¿Sabías que la velocidad de la luz es de 300,000 km/s? Existen laboratorios dedicados a la investigación en Física de partículas, mismas que se encuentran en todo el universo. Algunos investigadores intentan calcular qué tanto se puede acelerar una partícula y de esta manera acercarnos a saber si los objetos pueden viajar a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

Se estudia, en específico, el caso de una partícula cuya aceleración está dado por:

f´´(t) = 2t - 6 

Los investigadores, están interesados en determinar:

a) ¿Cuál es la función de velocidad si al instante t = 1 la velocidad de dicha partícula es de 0?

Me dan la aceleración 

f′′(t)=2t−6

Quiero la velocidad 

f′(t). Como la aceleración es la derivada de la velocidad, entonces para encontrar la velocidad tengo que integrar la aceleración.

f′(t)=∫(2t−6)dt=t2−6t+C

Me dicen que en 

t=1 la velocidad es 0, o sea f′(1)=0.

Sustituyo:

(1)2−6(1)+C=0

1−6+C=0

−5+C=0

C=5

La función de velocidad que obtuve es:

f′(t)=t2−6t+5b) ¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante t = 2 toma un valor de 10?

Perfecto, veo que ya tienes armada tu portada y el inciso a) completo. Aquí te ayudo con el inciso b) en primera persona, con texto plano y paso a paso para que lo pegues sin problema en tu Word de Drive.

b) ¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante t = 2 toma un valor de 10?

Mi procedimiento:

Ya tengo la función de velocidad del inciso anterior:

f'(t) = t^2 - 6t + 5

Ahora quiero la posición f(t). Como la velocidad es la derivada de la posición, entonces para encontrar la posición tengo que integrar la velocidad.

f(t) = ∫ (t^2 - 6t + 5) dt

Integro término por término:

∫ t^2 dt = t^3/3

∫ -6t dt = -6 * (t^2/2) = -3t^2

∫ 5 dt = 5t

Siempre agrego una constante que llamo C2 (porque ya usé C en la velocidad):

f(t) = t^3/3 - 3t^2 + 5t + C2

Me dicen que en el instante t = 2 la posición vale 10, o sea f(2) = 10.

Sustituyo t = 2 en mi función:

f(2) = (2^3)/3 - 3(2^2) + 5(2) + C2 = 10

Calculo paso a paso:

2^3 = 8, entonces 8/3 = 2.666...

2^2 = 4, entonces -3(4) = -12

5(2) = 10

Sumo: 8/3 - 12 + 10 = 8/3 - 2

8/3 - 2 = 8/3 - 6/3 = 2/3

Entonces:

2/3 + C2 = 10

Despejo C2:

C2 = 10 - 2/3

C2 = 30/3 - 2/3

C2 = 28/3

C2 = 9.333...

La función de posición que obtuve es:

f(t) = t^3/3 - 3t^2 + 5t + 28/3

Mi respuesta del inciso b):

f(t) = t^3/3 - 3t^2 + 5t + 28/3

¿Necesitas que siga con el inciso c), d) y e) en el mismo formato?

c) ¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [8,11]?

Claro, aquí te ayudo con el inciso c) en primera persona, paso a paso y en texto plano para que lo pegues directo en tu Word de Drive.

c) ¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [8,11]?

Mi procedimiento:

Primero, necesito recordar mis funciones:

Velocidad: f'(t) = t^2 - 6t + 5

Posición: f(t) = t^3/3 - 3t^2 + 5t + 28/3

Para saber cuánto ha recorrido la partícula, no puedo solo restar posiciones porque la partícula podría haber ido hacia adelante y hacia atrás. Tengo que calcular la distancia total, que es la integral del valor absoluto de la velocidad.

Primero, encuentro dónde la velocidad es cero para ver si la partícula cambia de dirección en el intervalo [8,11].

Resuelvo f'(t) = 0:

t^2 - 6t + 5 = 0

Factorizo:

(t - 1)(t - 5) = 0

t = 1 y t = 5

Los dos puntos están fuera del intervalo [8,11] porque 1 y 5 son menores que 8. Eso significa que en el intervalo [8,11] la velocidad NO cambia de signo.

Ahora verifico qué signo tiene la velocidad en [8,11]. Elijo t = 8:

f'(8) = (8)^2 - 6(8) + 5 = 64 - 48 + 5 = 21 (positivo)

Como la velocidad es positiva en todo el intervalo, la partícula solo avanza hacia adelante. Entonces la distancia recorrida es simplemente la posición final menos la posición inicial.

Calculo f(11) y f(8):

f(11) = (11^3)/3 - 3(11^2) + 5(11) + 28/3

11^3 = 1331, entonces 1331/3 = 443.666...

11^2 = 121, entonces -3(121) = -363

5(11) = 55

28/3 = 9.333...

Sumo: 443.666 - 363 = 80.666; 80.666 + 55 = 135.666; 135.666 + 9.333 = 145

f(11) = 145

f(8) = (8^3)/3 - 3(8^2) + 5(8) + 28/3

8^3 = 512, entonces 512/3 = 170.666...

8^2 = 64, entonces -3(64) = -192

5(8) = 40

28/3 = 9.333...

Sumo: 170.666 - 192 = -21.333; -21.333 + 40 = 18.667; 18.667 + 9.333 = 28

f(8) = 28

La distancia recorrida es:

f(11) - f(8) = 145 - 28 = 117

Mi respuesta del inciso c):

La partícula ha recorrido 117 unidades en el intervalo [8,11].

¿Necesitas que siga con el inciso d) y e)?

d) Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen.

Y ME DICES SI DEBO GRAFICARLO

Claro, aquí te ayudo con el inciso d) en primera persona, paso a paso y en texto plano. Al final te respondo lo de la gráfica.

d) Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen.

Mi procedimiento:

Para encontrar los máximos y mínimos de la función de posición f(t), necesito usar la primera derivada y la segunda derivada.

Ya tengo:

f'(t) = t^2 - 6t + 5 (velocidad)

f''(t) = 2t - 6 (aceleración)

Paso 1: Encontrar los puntos críticos

Los puntos críticos ocurren donde la primera derivada es cero:

t^2 - 6t + 5 = 0

Factorizo:

(t - 1)(t - 5) = 0

t = 1 y t = 5

Estos son mis dos puntos críticos.

Paso 2: Clasificar si son máximos o mínimos

Uso el criterio de la segunda derivada:

Si f''(t) > 0 es mínimo local

Si f''(t) < 0 es máximo local

Evaluó en t = 1:

f''(1) = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4

Como -4 es menor que 0, en t = 1 hay un MÁXIMO local.

Evaluó en t = 5:

f''(5) = 2(5) - 6 = 10 - 6 = 4

Como 4 es mayor que 0, en t = 5 hay un MÍNIMO local.

Paso 3: Calcular los valores de posición en esos puntos

Uso mi función de posición: f(t) = t^3/3 - 3t^2 + 5t + 28/3

Para t = 1:

f(1) = (1^3)/3 - 3(1^2) + 5(1) + 28/3

f(1) = 1/3 - 3 + 5 + 28/3

f(1) = (1/3 + 28/3) + ( -3 + 5)

f(1) = 29/3 + 2

f(1) = 29/3 + 6/3 = 35/3 = 11.666...

Para t = 5:

f(5) = (125)/3 - 3(25) + 5(5) + 28/3

f(5) = 125/3 - 75 + 25 + 28/3

f(5) = (125/3 + 28/3) + (-75 + 25)

f(5) = 153/3 - 50

f(5) = 51 - 50 = 1

Mi respuesta del inciso d):

Punto máximo local en t = 1 con valor f(1) = 35/3 (aproximadamente 11.67)

Punto mínimo local en t = 5 con valor f(5) = 1

No hay máximos ni mínimos absolutos porque la función es cúbica y tiende a infinito.

¿Debo graficarlo?

No es obligatorio, pero te lo recomiendo. Una gráfica te ayuda a visualizar dónde están el máximo y el mínimo. En tu tarea de Prepa en Línea, con que des las coordenadas es suficiente. Si quieres incluir gráfica para enriquecer tu proyecto, puedes hacerla a mano o usar alguna herramienta como GeoGebra. Pero el inciso no pide explícitamente la gráfica, solo "determina los puntos máximos y mínimos".

¿Necesitas que siga con el inciso e)?

e) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo: [6,9] y [8,10]?

Claro, aquí te ayudo con el inciso e) en primera persona, paso a paso y en texto plano.

e) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo: [6,9] y [8,10]?

Mi procedimiento:

La razón de cambio promedio me indica qué tanto cambia la posición en promedio por cada unidad de tiempo. La fórmula que uso es:

Razón de cambio promedio = [f(b) - f(a)] / (b - a)

Donde a y b son los extremos del intervalo.

Ya tengo mi función de posición:

f(t) = t^3/3 - 3t^2 + 5t + 28/3

Primer intervalo: [6,9]

Calculo f(9):

f(9) = (9^3)/3 - 3(9^2) + 5(9) + 28/3

9^3 = 729, entonces 729/3 = 243

9^2 = 81, entonces -3(81) = -243

5(9) = 45

28/3 = 9.333...

Sumo: 243 - 243 = 0; 0 + 45 = 45; 45 + 9.333 = 54.333

f(9) = 54.333... o en fracción: 163/3

Calculo f(6):

f(6) = (216)/3 - 3(36) + 5(6) + 28/3

216/3 = 72

-3(36) = -108

5(6) = 30

28/3 = 9.333...

Sumo: 72 - 108 = -36; -36 + 30 = -6; -6 + 9.333 = 3.333

f(6) = 3.333... o en fracción: 10/3

Ahora aplico la fórmula:

Razón = [f(9) - f(6)] / (9 - 6)

Razón = [163/3 - 10/3] / 3

Razón = [153/3] / 3

Razón = 51 / 3 = 17

Segundo intervalo: [8,10]

Calculo f(10):

f(10) = (1000)/3 - 3(100) + 5(10) + 28/3

1000/3 = 333.333...

-3(100) = -300

5(10) = 50

28/3 = 9.333...

Sumo: 333.333 - 300 = 33.333; 33.333 + 50 = 83.333; 83.333 + 9.333 = 92.666

f(10) = 92.666... o en fracción: 278/3

Ya tengo f(8) del inciso anterior: f(8) = 28

Aplico la fórmula:

Razón = [f(10) - f(8)] / (10 - 8)

Razón = [278/3 - 28] / 2

Primero convierto 28 a tercios: 28 = 84/3

Razón = [278/3 - 84/3] / 2

Razón = [194/3] / 2

Razón = 194/6 = 97/3 = 32.333...

Mi respuesta del inciso e):

Razón de cambio promedio en [6,9] = 17 unidades por segundo

Razón de cambio promedio en [8,10] = 97/3 ≈ 32.33 unidades por segundo

¿Necesitas que te ayude a responder las preguntas finales del punto 2 (a y b) con el mismo formato?

a) ¿Qué nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés?  responde  en un  solo parrafo

Mi respuesta a la pregunta a):

La diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio entre los intervalos [6,9] y [8,10] me indica que la partícula no se mueve a una velocidad constante, sino que su velocidad va cambiando con el tiempo. En el intervalo [6,9] la razón de cambio promedio fue de 17 unidades por segundo, mientras que en [8,10] fue de aproximadamente 32.33 unidades por segundo, lo que significa que en el segundo intervalo la partícula recorrió más distancia por segundo en promedio. Esto me muestra que la partícula se está acelerando y que su movimiento es más rápido en el último tramo, además de que al comparar intervalos que se traslapan puedo notar cómo evoluciona su rapidez a lo largo del tiempo.

b) Imagina que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos calculando ingresos ¿Qué utilidad tendría el cálculo de la razón de cambio promedio en el contexto de un negocio familiar? Argumenta tu respuesta en máximo 10 líneas.

Mi respuesta a la pregunta b):

Si en lugar de una partícula estuviéramos calculando ingresos de un negocio familiar, la razón de cambio promedio me serviría para saber si mis ventas están aumentando o disminuyendo con el tiempo. Por ejemplo, si calculo la razón de cambio promedio de mis ingresos en intervalos de meses, puedo identificar en qué épocas del año vendo más o menos. Esto me ayuda a tomar decisiones como cuándo comprar más inventario, cuándo hacer promociones o cuándo ahorrar para temporadas bajas. También me permite ver si las estrategias que implementé están funcionando. En pocas palabras, me da una medida clara y sencilla del crecimiento o decrecimiento de mi negocio sin necesidad de ser experto en matemáticas.

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Fuentes:

Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). (s.f.). Lecciones de cálculo. Objetos de Aprendizaje. Recuperado de http://objetos.unam.mx/matematicas/leccionesMatematicas/index_calculo.html

Red de Innovación y Desarrollo de la Educación Digital de la UNAM (s.f.). Lecciones de cálculo. Recuperado de https://redi.cuaieed.unam.mx/lecciones/lecciones/cal/3_000/index.html

LibreTexts. (s.f.). Tasas de cambio promedio e instantáneas. Recuperado de https://espanol.libretexts.org/Educacion_Basica/Calculo/04%3A_Diferenciaci%C3%B3n_-_Modelos_de_Pendiente_usando_Derivadas/4.01%3A_Tasas_de_Cambio_Promedio_e_Instant%C3%A1neas

Centro de Investigación y Desarrollo de la Cultura y la Educación (CIDCAE) de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAHEH). (s.f.). Tangentes y razones de cambio promedio e instantáneo. Recuperado de http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro8/111_tangentes_y_razones_de_cambio_promedio_e_instantneo.html